Трансаксиалды айнаның ортаңғы жазықтығында орналасқан нүктелік көзден шығатын зарядталған бөлшектердің қозғалысы қарастырылады. Үш электродты трансаксиалды айна - бұл радиустары R₁ және R₂ болатын түзу дөңгелек цилиндрлермен кесілген және осі z осімен сәйкес келетін екі параллельді пластина. Комплекс айнымалы функциялар теориясының әдістерін қолдана отырып F(η,ζ) гармониялық құраушыны есептеу үшін өрнек алынды. Трансаксиалды айна өрісінің потенциалы үшін аналитикалық өрнектер φ(η,ζ) потенциалы үшін жақсы жуықтауды береді және сонымен бірге Дирихленің берілген шекаралық шарттарын дәл қанағаттандырады және екі өлшемді Лаплас теңдеуін қанағаттандырады. Үш электродты трансаксиалды айнадағы шағылу нәтижесінде шашыраңқы сәулелер шоғын параллель сәулеле шоғына айналдыруға және жоғары сапалы кеңістіктік-уақыттық фокустауға қол жеткізуге болатындығын көрсетті.
Трансаксиалды айналардың бұл қасиеті жоғары тиімді ұшу уақыты масс-спектрометрлерді жасау үшін пайдалануға болады. Сондай-ақ, үш электродты трансаксиалды линзаның электростатикалық потенциалы үшін өте қарапайым аналитикалық өрнек алынды, оны трансаксиалды айналарды есептеу үшін де қолдануға болады.
Бөлшектердің траекторияларын есептеу үшін Ньютонның өлшемсіз теңдеулері мен үш электродты трансаксиалды айнаның өрісін жақсы дәлдікпен сипаттайтын потенциалдың аналитикалық өрнектері
қолданылады. Шоқты вертикалды фокустаудың екі режимі есептелді. 

1. Гликман Л.Г. Электронно-оптические параметры трехэлектродных трансаксиальных цилиндрических линз / Л.Г. Гликман и др. // ЖТФ. – 1971. – Т. 41. – № 2. – С. 330-335.
2. Кельман В.М. Электронно-оптические элементы призменных спектрометров заряженных частиц / В.М. Кельман, С.П. Карецкая, Л.В. Федулина, Е.М. Якушев. – АлмаАта: «Наука» КазССР, 1979. – 232 с.
3. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – М.: Наука, 1977. – 736 с.
4. Spivak-Lavrov I.F. Analytical Methods for The Calculation and Simulation of New Schemes of Static and Time-of-Flight Mass Spectrometers / I.F. Spivak-Lavrov // Burlington: Advances in Imaging and Electron Physics. – 2016. – V. 193. – Р. 45-128. DOI:
5. 1016/bs.aiep.2015.10.001.
6. Spivak-Lavrov I.F. Ways of Developing Analyzers for Static Mass Spectrometers / I.F. Spivak-Lavrov, О.А. Baisanov, A.A. Nurmukhanova // Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics. – 2018. – V. 82. – №. 10. – Р. 1353–1358. DOI: 10.3103/S1062873818100210.
7. Спивак-Лавров И.Ф. Масс-анализатор с конусовидной ахроматичной призмой и трансаксиальными линзами / И.Ф. Спивак-Лавров, А.А. Нурмуханова, Т.Ж. Шугаева. // Научное приборостроение. – 2019. – Т. 29. – № 1. – С. 116-125.
8. Spivak-Lavrov I.F. Prismatic mass analyzer with the conical achromatic prism and transaxial lenses / I.F. Spivak-Lavrov, T.Zh. Shugaeva, T.S. Kalimatov. International Journal of Mass Spectrometry. – 2019. – Vol. 444. – Р. 1-6. DOI: 10.1016/j.ijms.2019.116180
9. Spivak-Lavrov I.F. Solutions of the Laplace equation in cylindrical coordinates, driven to 2D harmonic potentials / I.F. Spivak-Lavrov, T.Zh. Shugaeva, S.U. Sharipov // Burlington: Advances in Imaging and Electron Physics. – 2021. – V. 215. – Р. 181-193. DOI:
10. 1016/bs.aiep.2020.06.006.
11. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. – М.: Наука, 1976. – 716 с.