В работе рассматривается краевая задача теплопроводности в нецилиндрической области, представляющей собой перевернутый конус, то есть в области вырождающейся в точку в начальный момент времени. При этом граничные условия содержат производную по временной переменной, на практике такого рода задачи возникают при наличии условия сосредоточенной теплоемкости. Доказана теорема о разрешимости краевой задачи в весовых пространствах существенно ограниченных функций. Исследованы вопроса разрешимости сингулярного интегрального уравнения Вольтерра второго рода, к которому редуцирована исходная задача. Для решения полученного сингулярного интегрального уравнения Вольтерра применяется метод равносильной регуляризации Карлемана – Векуа.