В работе рассматривается краевая задача для дробно-нагруженного уравнения теплопроводности в первом квадранте. Нагруженное слагаемое имеет вид дробной производной в смысле Римана-Лиувилля по пространственной переменной, причем порядок производной в нагруженном члене меньше порядка дифференциальной части. Исследование основано на сведении краевой задачи к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Ядро полученного интегрального уравнения содержит специальную функцию — функцию типа Райта. Получены условия разрешимости интегрального уравнения и показано, что существование и единственность решений интегрального уравнения зависит как от порядка дробной производной в нагруженном слагаемом начально-краевой задачи, так и от закона движения нагрузки.