В данной статье исследуются вопросы существования и единственности устойчивых по Пуассону решений квазилинейной системы дифференциальных уравнений с кусочно-постоянным аргументом. Наличие кусочно-постоянного аргумента определяет специфику структуры решений рассматриваемой системы: решение является непрерывным, тогда как его производная имеет разрывы в точках переключения аргумента. Цель исследования состоит в установлении достаточных условий, обеспечивающих существование, единственность и устойчивость соответствующего устойчивого по Пуассону решения на основе свойств внешнего воздействия и кусочно-постоянного аргумента. В работе вводится понятие устойчивости по Пуассону для кусочно-постоянного аргумента и исследуются свойства связанных с ним последовательностей сдвигов на компактных промежутках. Полученные свойства применяются при анализе решений рассматриваемой квазилинейной дифференциальной системы. Для доказательства существования устойчивого по Пуассону решения используется метод вложенных интервалов, позволяющий посредством выбора подходящих временных сдвигов и соответствующих промежутков установить необходимые свойства компактности функций и решений. С учётом устойчивости линейной  nчасти системы, а также условий, налагаемых на нелинейную часть и функцию внешнего воздействия, сформулированы достаточные условия существования и единственности устойчивого по Пуассону решения. Полученные результаты описывают взаимосвязь между свойствами устойчивости по Пуассону кусочно-постоянного аргумента и динамикой решений квазилинейных дифференциальных уравнений, а также расширяют теоретические основы исследования сложных повторяющихся движений.

ТЛЕУБЕРГЕНОВА М. А.

Кандидат  физико-математических  наук, доцент, Актюбинский региональный университет имени К. Жубанова, г. Актобе, Казахстан

E-mail: mtleubergenova@zhubanov.edu.kz, https://orcid.org/0000-0002-5572-2305

ТУЛЕГЕНОВА А.Е.

Магистрант, Актюбинский региональный университет имени К. Жубанова, г. Актобе, Казахстан

E-mail: a.e.tabildi00@gmail.com, https://orcid.org/0009-0000-6438-5833

1. Farkas M. Periodic Motions. — New York: Springer-Verlag, 1994. — 577 p. — DOI: 10.1007/978-1-4757-4211-4
2. Burton T. A. Stability and Periodic Solutions of Ordinary and Functional Differential Equations. — Orlando: Academic Press, 1985. — 348 p.
3. Bohl P. Über eine Differentialgleichung der Störungstheorie. // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1906. — Bd. 131. — S. 268–321.
4. Bohr H.A. Almost Periodic Functions. — New York : Chelsea Publishing Company, 1947. —114 p.
5. Bogolyubov N.N. On Some Arithmetic Properties of Almost Periods. — Kiev: Akademiya Nauk Ukrainian SSR, 1939. — P. 185-205.
6. Besicovitch A.: Almost Periodic Functions. Dover: Cambridge, UK, 1954. — XIII, 180 p.
7. Sell G. Topological Dynamics and Ordinary Differential Equations. — London: Van Nostrand Reinhold Company, 1971. — 199 p.
8. Poincaré H. Les Methodes Nouvelles de la Mecanique Celeste; Gauthier-Villars: Paris, France, 1892. Volume I–II.
9. Poincaré H. Les Methodes Nouvelles de la Mecanique Celeste; Gauthier-Villars: Paris, France, 1899. Volume III. — 414 p.
10. Birkhoff G.D. Dynamical Systems. – USA: American Mathematical Society, 1927. 305 p.
11. Akhmet M., Tleubergenova M., Zhamanshin A.Poincare chaos for a hyperbolic quasilinear system. Miskolc Mathematical Notes. — 2019. — Vol. 20, No. 1. — P. 33–44. DOI: 10.18514/MMN.2019.2826
12. Akhmet M., Tleubergenova M., Zhamanshin A.: Quasilinear differential equations with strongly unpredictable solutions. Carpathian Journal of Mathematics. — 2020. — Vol. 36, No. 3. — P. 341–349. DOI:10.37193/CJM.2020.03.02
13. Akhmet M., Çinçin D.A., Tleubergenova M., Nugayeva Z., Unpredictable oscillations for Hopfield-type neural networks with delayed and advanced arguments. Mathematics. — 2021. — Vol. 9, No. 5. — Article 571. — 19 p. https://doi.org/10.3390/math9050571
14. Akhmet M., Tleubergenova M., Nugayeva Z., Unpredictable Solutions of Impulsive Quasi-Linear Systems, Discontinuity, Nonlinearity, and Complexity. — 2022. Vol. 11, No. 1. — P. 73–89. DOI: 10.5890/DNC.2022.03.006
15. Akhmet M., Tleubergenova M., Zhamanshin A., Nugayeva Z., Artificial Neural Networks: Alpha Unpredictability and Chaotic Dynamics. — Cham: Springer, 2025. — XIII, 251 p. DOI: 10.1007/978-3-031-68966-6
16. Gopalsamy K., Stability and Oscillation in Delay Differential Equations of Population Dynamics. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1992. — XII, 501 p. — DOI: 10.1007/978-94-015-7920-9 Akhmet, M. Domain Structured Dynamics: Unpredictability, Chaos, Randomness, Fractals, Differential Equations and Neural Networks. — Bristol: IOP Publishing, 2021. — 202 p. DOI 10.1088/978-0-7503-3507-2.
17. Li X. and Wang Z. Global attractivity for a logistic equation with piecewise constant arguments. Differences and differential equations. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2004. — Vol. 42. — P. 215–222.
18. Busenberg S., Cooke K. L. / Models of vertically transmitted diseases with sequential continuous dynamics // Nonlinear Phenomena in Mathematical Sciences, — New York: Academic Press, 1982. — P. 179–187. DOI: 10.1016/B978-0-12-434170-8.50028-5.
19. Akhmet M.U., Yilmaz E.: Neural Networks with Discontinuous/Impact Activations. — New York: Springer, 2014. — XI, 168 p. DOI: 10.1007/978-1-4614-8566-7.
20. Akhmet M.U.: Stability of differential equations with piecewise constant arguments of generalized type. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. — 2008. — Vol. 68, no. 4. — P. 794–803. DOI: 10.1016/j.na.2006.11.037.
21. Akhmet M.: Nonlinear Hybrid Continuous/Discrete-Time Models. — Paris: Atlantis Press, 2011. — 216 p. DOI: 10.2991/978-94-91216-40-8
22. Akhmet M.U.: Integral manifolds of differential equations with piecewise constant argument of generalized type. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. — 2007. — Vol. 66, no. 2. — P. 367–383. DOI: 10.1016/j.na.2005.11.032
23. Akhmet M., Tleubergenova M., Seilova R., Nugayeva Z.: Poisson stability in symmetrical impulsive shunting inhibitory cellular neural networks with generalized piecewise constant argument. Symmetry. — 2022. — Vol. 14, no. 9. 1754. —22p. DOI: 10.3390/sym14091754.
24. Akhmet M., Tleubergenova M., Zhamanshin A.: Modulo periodic Poisson stable solutions of quasilinear differential equations. Entropy. — 2021. — Vol. 23, No. 11. — Article 1535. — 17 p. DOI: 10.3390/e23111535.
25. Akhmet M., Tleubergenova M., Nugayeva Z. Unpredictable and Poisson stable oscillations of inertial neural networks with generalized piecewise constant argument. Entropy. — 2023. — Vol. 25, No. 4. — Article 620. — 22 p. DOI: 10.3390/e25040620
26. Akhmet M. Principles of Discontinuous Dynamical Systems. Springer. — New York: Springer, 2010. — XI, 176 p. DOI: 10.1007/978-1-4419-6581-3.
27. Driver R.D. Ordinary and Delay Differential Equations. Springer Science Business Media. — New York: Springer, 2012. — 501 p. DOI: 10.1007/978-1-4684-9467-9.
28. Hartman P., Ordinary differential equations. — Boston: Birkhäuser, 1982. — XIV, 612 p. DOI: 10.1007/978-1-4612-9732-5